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陕西华山路桥集团有限公司长安大学公路学院

摘 要：路面使用性能是市政道路的全生命周期管理养护的重点，为了对路面使用性能进行精准预测，针对现有路面使用性能衰减影响因素众多、实测数据随机性和波动性较大等特点，基于灰色系统理论，运用新陈代谢的思想，建立了新维灰色理论模型，随后用马尔可夫链理论优化新维灰色理论模型的预测值，最终得到了灰色马尔可夫预测模型。结合西安市某市政道路路段2012年～2018年常用路面使用性能检测指标的实测数据，以路面行驶质量指数RQI为例，对传统灰色理论模型、新维灰色理论模型和灰色马尔可夫预测模型的预测效果进行对比分析，结果表明：与RQI实测值相比，灰色马尔可夫模型预测值的平均相对误差最小，仅为0.41%,预测精度最高。

关键词：道路工程;路面使用性能;灰色系统理论;新维灰色理论模型;灰色马尔可夫模型;

收稿日期：2021-06-03

基金：陕西省重点研发计划项目，项目编号2021SF-514;陕西省住建厅科技计划项目，项目编号2020-K03;

如今，在交通运输行业和市政基础建设快速发展的同时，市政道路也愈发受到重视。市政道路受自然环境变化、气候和车辆荷载反复作用等影响，其路面使用性能会随时间的增加而有所衰减，进而出现各种道路病害，如裂缝、车辙和松散等，给行车安全性和舒适性带来不利影响。当市政道路路面使用性能降低到一定的程度时，需要进行养护来恢复其使用性能以保证车辆的安全通行。因此，市政道路路面使用性能预测在路面的养护和管理过程中起着至关重要的作用。

市政道路路面使用性能在衰减的过程中，其各项评价指标会随之变化，并呈现出一定的规律[1]。因此，通过发现并运用这些变化规律，可以准确地预测在未来时间段内市政道路路面使用性能的变化趋势。关于路面使用性能的预测方法，许多专家与学者都做了很多工作，常用的预测方法有经验-力学法[2]、回归分析法、神经网络法、马尔可夫法[3]、灰色理论法[4]等。马伟中等[5]建立了回归分析预测模型，以路面破损状况指数PCI和车辙深度指数RDI为例，预测了甘肃省河西地区高速公路沥青路面使用性能，结果表明回归分析预测模型的预测误差小、精度高。刘红遍[6]采用神经网络中的BP网络模型，建立了高速公路预防性养护使用性能预测模型，并得到很好效果。王小凤等[7]利用混合遗传神经网络算法来建立预测模型，预测高速公路路面使用性能的变化趋势。杨家勇[8]建立了支持向量机预测模型，并与多元线性回归预测模型相比较，结果表明支持向量机的预测精度更高。郭知洋[9]用遗传算法优化支持向量机参数，建立了融合遗传算法与支持向量机的GA-SVR预测模型。王嘉琪[10]基于马尔可夫链理论方法，建立了城市道路路面使用性能的预测模型。袁青泉等[11]将灰色理论与回归分析法融合，建立对宁扬高速路况指标的预测模型。杨博等[12]运用模型参数修正方法，以路面破损状况指数PCI、抗滑性能指数SRI两项指标为例来预测沥青路面使用性能，得出的预测值相对误差较小。

灰色理论由于其预测效果良好，所以在对路面使用性能预测中应用广泛。王国晓等[13]建立了高速公路路面使用性能的灰色理论模型，并将路面性能指标的预测值与实测值做对比，得出了灰色理论模型能适用于短期预测的结论。刘秀菊等[14]根据灰色理论，对沥青混凝土路面使用性能中的4项指标进行预测，结果表明模型能较准确地预测出指标未来的变化趋势。于晓贺等[15]为了弥补传统灰色理论模型初始值依赖性较大的缺陷，建立了修正灰色预测模型，通过工程实例验证了修正灰色预测模型的精确性高于传统灰色理论模型。陈仕周等[16]基于传统的灰色理论模型，利用无偏估计和滑动平均的方法分别建立了无偏灰色理论模型和滑动灰色理论模型，并引入遗传算法和BP神经网络，从而得到了GA-灰色神经网络组合预测模型，最后通过工程实例验证了该预测模型的预测精度较高。

当灰色理论模型预测的数据波动性较大时，预测值与实际值的相对误差较大，预测精度会偏低。市政道路路面使用性能降低的影响因素众多，导致其实际检测数据通常具有较大的随机性和波动性，所以用传统的灰色理论模型来预测市政道路路面使用性能存在一定的不足。而用马尔可夫模型来预测波动较大的数据，其预测值与实际值契合程度较高。因此，本文基于传统的灰色理论模型，结合马尔可夫理论，建立一种兼有两种预测模型优点的模型——灰色马尔可夫模型，并通过西安市某市政道路路段2012年～2018年常用路面使用性能检测指标的实测数据，对该预测模型的准确性进行验证。研究成果可以为市政道路路面使用性能的预测提供参考。

1 灰色理论模型

在1982年，邓聚龙教授提出灰色系统理论方法，该预测方法可以弥补历史数据少和信息缺乏的不足，并且预测比较准确。灰色理论模型是灰色系统理论中最常用的模型[17]。其预测的基本思路是：先从离散的、杂乱的已知历史数据中，找出一组数据作为初始数据列，对初始数据列进行一次累加计算，再对累加后的数据列进行计算处理，建立模型，最后将模型计算值进行累减后即可得到预测值[18]。

1.1模型的建立

设X0为模型初始数据列：

X0=(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)) (1)

对模型初始数据列进行累加计算处理，进而求得累加后的数据列X1为：

X1=(x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),…,x(1)(n)) (2)

其中：

x(1)(k)=∑i=1kx(0)(i),k=1,2,3,?,nx(1)(k)=∑i=1kx(0)(i),k=1,2,3,?,n

X1的紧邻均值生成数据列Z1为：

Z1=(z(1)(2),z(1)(3),z(1)(4),…,z(1)(n)) (3)

其中：

z1(k)=(x(1)(k)+x(1)(k?1))2,k=2,3,?,nz1(k)=(x(1)(k)+x(1)(k-1))2,k=2,3,?,n

灰色GM(1,1)预测模型的微分方程为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b (4)

式中：a为发展关系数；b为灰色作用量。

假设a︿=(a,b)Ta︿=(a,b)Τ为灰色参数列，然后进行最小二乘估计，使其满足：

a︿=(BTB)?1BTY?????????(5)a︿=(BΤB)-1BΤY?????????(5)

其中：

B=???????z(1)(2)?z(1)(3)??z(1)(n)11?1??????Y=??????x(0)(2)x(0)(3)?x(0)(4)??????B=[-z(1)(2)1-z(1)(3)1??-z(1)(n)1]Y=[x(0)(2)x(0)(3)?x(0)(4)]

解出a、b, 就可以确定灰色理论模型。

根据微分方程可得预测列X︿(1)X︿(1):

X︿(1)=(x︿(1)(2),x︿(1)(3),x︿(1)(4),?,x︿(1)(n))?????????(6)x︿(1)(k+1)=[x(0)(1)?ba]e?ak+ba,k=1,2,?,n?????????(7)X︿(1)=(x︿(1)(2),x︿(1)(3),x︿(1)(4),?,x︿(1)(n))?????????(6)x︿(1)(k+1)=[x(0)(1)-ba]e-ak+ba,k=1,2,?,n?????????(7)

式中：x︿(1)(k)x︿(1)(k)为生成数据时间列的预测值。

将式(7)的计算值进行累减，即可得到模型的预测值为：

x︿(0)(k+1)=x︿(1)(k+1)?x︿(1)(k)?????????(8)x︿(0)(k+1)=x︿(1)(k+1)-x︿(1)(k)?????????(8)

1.2灰色理论模型的精度检验

要确定通过灰色理论模型计算求得的预测结果是否合格，还应该进行模型精度检验。本文的检验方法是后验差检验，其依据是后验差比值C及小概率误差P。计算方法如下。

假设初始数及残差的方差分别为S2112、S2222:

S21=1n∑i=1n[x(0)(i)?xˉ(0)]2?????????(9)S12=1n∑i=1n[x(0)(i)-xˉ(0)]2?????????(9)

S22=1n∑i=1n[Δ(0)(i)?Δˉˉˉ(0)]2?????????(10)S22=1n∑i=1n[Δ(0)(i)-Δˉ(0)]2?????????(10)

式中：xˉ(0)xˉ(0)为初始数的平均值。

xˉ(0)=1n∑i=1nx(0)(i)?????????(11)xˉ(0)=1n∑i=1nx(0)(i)?????????(11)

Δˉˉˉ(0)Δˉ(0)为残差的平均值：

Δˉˉˉ(0)=1n∑i=1nΔ(0)(i)?????????(12)Δˉ(0)=1n∑i=1nΔ(0)(i)?????????(12)

后验差比值C及小概率误差P的计算公式如下：

C=S1S2?????????(13)P=P{0.6745S1>∣∣Δ(0)(i)?Δˉˉˉ(0)∣∣}?????????(14)C=S1S2?????????(13)Ρ=Ρ{0.6745S1>|Δ(0)(i)-Δˉ(0)|}?????????(14)

模型的精度可以根据C值和P值的大小分为4个等级，模型精度等级表如表1所示。其中，P值越大，C值越小，则模型的精度等级越高，预测结果越准确。

表1 模型精度等级 导出到EXCEL

2 新维灰色理论模型

在对市政道路路面使用性能进行检测的过程中，新的检测数据会不断地产生。但是当预测市政道路路面使用性能时，初期检测时间距离预测时间较远，预测结果的准确性会降低。而新的检测数据更接近要预测的时间点，预测准确性会有所提高，更能体现市政道路路面使用性能当前的发展特征。这便表明检测数据具有时效性。赵静等[19]也指出，随着时间的增加，检测数据对市政道路路面使用性能预测准确性的影响会出现明显的变化，即采用的检测数据越接近要预测的时间点，预测结果越准确。因此，本文为了更准确地预测市政道路路面使用性能，运用新陈代谢的思想，实时补充新的观测数据的同时，将旧的观测数据剔除，建立了新维灰色理论模型。

其建模步骤为：首先使用n维的初始数据列建立初始的灰色理论模型，来预测路面使用性能的第n+1时刻，得到了第n+1时刻的预测值；在求得第n+1时刻的预测值后，剔除初始数据列中第1时刻数据的同时，并在数据列的末尾处添加第n+1时序的数据，从而构建新的等维数据列；运用新构建的数据列继续建立第二次的灰色理论模型，来预测市政道路第n+2时刻的路面使用性能；依此类推，不断补充新的数据，逐步预测市政道路每个时刻的路面使用性能，直至完成所需时间的预测为止。

3 灰色马尔可夫模型

灰色马尔可夫模型融合了灰色理论预测和马尔可夫预测的优点，能对随机波动较大的路面使用性能变化过程进行更为准确的预测。

模型的基本思路是：首先用传统的灰色理论模型大致预测市政路面使用性能的衰减趋势，然后引入马尔可夫链来调整预测结果，从而提高预测结果的准确性。为此，在对市政道路路面使用性能进行预测分析时，根据灰色理论模型预测值与实际检测数据之间相对误差的范围，用马尔可夫链合理地划分其所处的状态区间，并确定相对应的状态转移概率矩阵，从而实现对灰色理论模型预测值的精确修正。其建模步骤如下。

(1)计算灰色理论模型预测的相对误差ε。

ε=x︿(0)?x(0)x(0)?????????(15)ε=x︿(0)-x(0)x(0)?????????(15)

(2)进行状态划分。

根据相对误差数据列的分布范围，将其划分为n个状态区间，任一个状态区间可记为：

Ei=[e1i,e2i],(i=1,2,…,n) (16)

式中：e1i,e2i分别为状态区间Ei的上下限。

(3)计算状态转移概率。

状态转移概率p是系统由一种状态转移到另一种状态的概率。假设状态Ei转移到状态Ej的概率为pij,计算公式如下：

pij=NijNi?????????(17)pij=ΝijΝi?????????(17)

式中：Ni为状态Ei出现的次数；Nij为状态Ei转移到状态Ej的次数。

(4)计算状态转移概率矩阵。

状态转移概率矩阵U是系统中各状态转移到下一状态的概率。根据相对误差序列与状态空间关系，确定状态转移概率矩阵U为：

U=??????p11p21?pn1p12p22?pn2????p1mp2m?pnm???????????????(18)U=[p11p12?p1mp21p22?p2m????pn1pn2?pnm]?????????(18)

状态转移概率矩阵中每行的状态转移概率pij之和为1,表示的是系统状态区间中各状态转移的规律。通常情况下，根据前一步的状态转移概率矩阵U就可以推断出下一步的状态转移情况。

(5)确定预测对象转移状态。

假如预测对象状态处于Em状态，则只需要考虑矩阵U第m行转移概率。假如矩阵的第j列是第m行中的最大值时，则下一时刻预测对象由状态Em转向Ej状态的可能性最大。假如矩阵的第m行的概率最大值不只有一个，则概率矩阵还需要多步计算，直到该行只有一个概率最大值为止，此时其所在列即是下一时刻预测对象最有可能的转移状态。假设初始状态向量为ε0,则在经过n步转移后的状态向量εn为：

εn=ε0Un (19)

根据状态向量εn即可确定预测对象在n步转移后最有可能处于的状态。一般仅考虑1步转移的情况，即式(19)中n取值为1。

(6)修正预测对象转移状态。

预测结果的准确性受其下一步的状态转移概率的修正影响，假设下一时刻预测对象状态转移到状态Ej,则灰色理论模型预测值的修正计算式为：

x︿(0)′(k+1)=x︿(0)(k+1)1+εˉ?????????(20)x︿(0)′(k+1)=x︿(0)(k+1)1+εˉ?????????(20)

式中：εˉεˉ为相对误差修正值，取为Ek状态区间范围的平均值，如式(21)所示。

εˉ=e1k+e2k2?????????(21)εˉ=e1k+e2k2?????????(21)

灰色马尔可夫模型建模流程图如图1所示。

图1 灰色马尔可夫模型流程 下载原图

4 预测模型的应用分析

为了检验上述中所提出的灰色马尔可夫模型预测的准确性，并将其与传统灰色理论和新维灰色理论模型的预测效果进行比较分析，本文选取西安市某市政道路路段2012年～2018年路面使用性能检测数据进行预测分析。检测数据如表2所示。检测数据包括路面行驶质量指数RQI、路面状况指数PCI和抗滑性能指数SFC。其中本文以路面行驶质量指数RQI为例，建立灰色马尔可夫预测模型，对其进行预测。同理，也可对路面状况指数PCI和抗滑性能指数SFC进行建模预测。

表2 西安市某市政道路路段路面使用性能检测数据 导出到EXCEL

选取表2中RQI前4年的检测数据作为初始数据列，建立灰色理论模型，根据1.1节中的计算可以求得参数a=0.005 1,b=5.912 0,保留小数点后4位小数。将参数a、b代入到式(7)中得：

x︿(1)(k+1)=?1145.63e?0.0051k+1151.531x︿(1)(k+1)=-1145.63e-0.0051k+1151.531

建立新维灰色理论模型需要不断补充新的检测数据到初始数据列中，同时剔除旧的检测数据。其建模步骤为：把2016年的检测数据补充到初始数据列，剔除2012年的检测数据，以2013年～2016年的检测数据作为新的初始数据列建立新的灰色理论模型，实现对2017年的道路RQI值进行预测。同理，可求得新维灰色理论模型的参数a=0.010 3、b=5.944 0,保留小数点后4位小数。将参数a、b代入到式(7)中得：

x︿(1)(k+1)=?568.435e?0.0103k+574.2954x︿(1)(k+1)=-568.435e-0.0103k+574.2954

同理，把2017年的检测数据补充到初始数据列，剔除2013年的检测数据，以2014年～2017年的检测数据作为新的初始数据列建立新的灰色理论模型，实现对2018年的道路RQI值进行预测，进而求得参数a=0.009 6,b=5.879 0,保留小数点后4位小数。将参数a、b代入到式(7)中得：

x︿(1)(k+1)=?607.177e?0.0096k+613.0268x︿(1)(k+1)=-607.177e-0.0096k+613.0268

由上述中灰色马尔可夫模型预测的基本思路可知，在得到灰色预测模型后，需要求出模型的预测值与实际值的相对误差范围，以此进行合理划分，如表3所示。由表3可知，模型预测的相对误差范围为-0.23%～0.12%,因此分别以-0.3%、-0.15%、0、0.15%、0.3%为阈值，将其划分为S1、S2、S3、S4共4个状态区间，各状态区间范围分别为[-0.3%,-0.15%),[-0.15%,0),[0,0.15%),[0.15%,0.3%)。由此可确定灰色预测模型相对误差所处的状态区间。

表3 灰色模型预测值与实际值对比 导出到EXCEL

根据表3中预测值与实际值的相对误差所处的各状态区间转换关系，按灰色马尔可夫模型的建模步骤可以确定状态转移矩阵U。首先统计表3相对误差所处的状态区间情况和各状态区间转移的次数，结果如表4所示。由于表3中最后一个时刻的后续状态未知，所以无法确定其下一步的转移概率，因此不统计最后一个时刻所处的状态转移情况。

表4 马尔可夫状态转移统计结果 导出到EXCEL

根据表4的统计结果，求出各状态区间的转移概率，以计算出状态转移矩阵U为：

U=??????000.500000100.500000??????U=[001000000.500.500000]

因为在2015年时处于S3状态，所以求得初始状态向量ε0为：

ε0=[0010]ε0=[0010]

将初始状态向量ε0代入式(19)中，即可确定1步转移后的状态向量ε1为：

ε1=ε0U=[0.500.50]ε1=ε0U=[0.500.50]

因此可以判断出在2016年时，模型预测的相对误差处于S3状态的可能性最大，此时采用式(20)对预测结果进行修正。由灰色理论模型可计算得出2016年RQI预测值为5.78,灰色马尔可夫模型预测结果为：

x︿′=5.78/(1+0.5(0.1%+0.3%))=5.77x︿′=5.78/(1+0.5(0.1%+0.3%))=5.77

通过上述步骤不断修正新维灰色理论模型预测的相对误差，就可以实现新维灰色理论模型的预测值不断优化。比如，当预测2017年的RQI值时，应选取2013年～2016年的检测数据首先建立灰色理论模型，在此基础上，不断补充新数据，剔除旧数据，建立新维灰色理论模型。然后对新维灰色理论模型预测的相对误差范围进行合理划分，以此求出其状态转移矩阵U,从而建立相应的灰色马尔可夫模型。市政道路路面使用性能的RQI实测值与预测模型的预测值对比如表5和图2所示。

表5 不同预测模型预测结果对比 导出到EXCEL

图2 RQI实测值与预测值对比 下载原图

先对灰色理论模型进行后验差检验，经过计算得出后验差比值C为0.23,小概率误差P为1,模型精度等级是好，由此表明灰色理论模型能取得良好的预测效果，能比较准确地反映道路RQI的变化趋势。

从表5的对比分析可得到，在预测2016年～2018年的RQI值时，新维灰色理论模型预测的平均相对误差为0.583%,与传统的灰色理论模型预测的平均相对误差值0.877%相比，降低了0.294%。这说明新维灰色理论模型预测的准确性更高。而将这3种预测模型相比，发现灰色马尔可夫预测模型的平均相对误差最小，仅为0.41%,所以灰色马尔可夫模型的预测精度最高，最接近实测值。由此可得，本文提出的灰色马尔可夫模型不仅可以弥补传统灰色理论模型的不足，而且其预测结果的准确性也得到了很大的提高，可以作为市政道路路面使用性能预测的有效手段，实现对路面使用性能变化情况更准确地预测。

5 结语

根据路面使用性能的实测数据具有较大的波动性和随机性的特点，本文融合了灰色理论和马尔可夫理论，基于传统的灰色理论模型，改进并提出了灰色马尔可夫模型。该模型充分发挥了灰色预测和马尔可夫预测的优势，大大提高了预测精度。

(1)为了更准确地预测市政道路路面使用性能，考虑到检测数据具有明显时效性，运用新陈代谢的思想，通过不断补充新数据和删除旧数据的方式，实现对初始数据列的实时更新，建立了新维灰色理论模型。

(2)在灰色理论模型预测的基础上，利用马尔可夫链不断优化灰色理论模型的预测结果，通过对其预测的相对误差范围所处的状态区间进行合理划分，以此求出其状态转移矩阵，从而建立相应的灰色马尔可夫模型，兼有灰色模型和马尔可夫模型的优势。

(3)结合具体实例，对本文的3种模型预测精度做比较分析，得到：灰色马尔可夫模型的平均相对误差最小，预测精度最高，新维灰色理论模型次之，传统的灰色理论模型末之。由此可得，本文提出的灰色马尔可夫模型可作为市政道路路面使用性能预测的有效方法之一，实现对其路面使用性能变化情况更准确的预测。

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